You are here

Дополнительные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Семестр: 
осенний
Нагрузка: 
1 лекция в неделю
Форма отчетности: 
экзамен
Аннотация: 

Данный курс посвящен некоторым важным разделам теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которые не затрагиваются в соответствующем стандартном курсе и которые важны как в теоретическом аспекте, так и для приложений. А именно, существование и единственность решения дифференциальных уравнений рассматриваются в рамках не классического, а обобщенного понятие решения (когда дифференцируемость требуется не всюду, а лишь почти всюду, но при этом от решения требуется абсолютная непрерывность), что важно, в частности, для задач оптимального управления. Кроме того, разбирается теорема существования аналитического решения системы для системы дифференциальных уравнений с комплексными аргументами. Далее, в курсе рассмотрены вопросы построения функции Грина и представление через эту функцию решений краевых задач, а также применения метода характеристик к решению линейных и квазилинейных уравнений с частными производными.

Спецкурс является обязательным для аспирантов 1-го г.о., обучающихся по специальности 01.01.02.

Программа курса: 
  1. Краевая задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи.
  2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексными аргументами. Доказательство теоремы существования и единственности аналитического решения методом мажорант.
  3. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Теорема существования и единственности решения при условиях Каратеодори.
  4. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики. Задача Коши. Теория Гамильтона–Якоби.

 

Рекомендованная литература: 
  1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1998г. (и другие издания).
  2. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1980 г.
  3. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Издательство физ.-мат. литературы, 1985 г.
  4. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. Издательство иностранной литературы, М.; 1962 г.
  5. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1995.
  6. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1971 г.
  7. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Наука, 1961.
  8. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.