Список вопросов для проведения итоговой аттестации выпускников магистратуры ВМК МГУ, прошедших обучение по магистерской программе "Математические методы системного анализа, динамики и управления":
-
Задача синтеза управлений с критерием Майера-Больца. Вывод соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана.
-
Линейно-квадратичные задачи управления и оценивания на конечном интервале.
-
Задача достижимости для линейно-выпуклой системы управления. Прямые и попятные области достижимости. Синтез управлений.
-
Задача оптимального управления при ограничениях на фазовые координаты. Достижимость. Синтез управлений.
-
Принцип максимума Л.С. Понтрягина. Линейные системы.
-
Принцип максимума Л.С. Понтрягина. Нелинейные системы.
-
Задача коррекции движений при неопределённости. Альтернированный интеграл Л.С. Понтрягина.
-
Синтез управлений при неопределённости для линейных систем. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса для систем общего вида.
-
Принцип сравнения для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана общего вида.
-
Задача импульсного управления в линейных системах. Теорема о числе импульсов. Синтез импульсных управлений.
-
Задача синтеза управлений по результатам наблюдений в линейных системах, на конечном интервале.
-
Теоремы о минимаксе и о дифференцировании функции максимума.
-
Отделимость выпуклых множеств в конечномерных пространствах.
-
Выпуклые множества в конечномерных пространствах. Выпуклая оболочка и теорема Каратеодори. Относительная внутренность выпуклых множеств.
-
Математические модели “хищник – жертва” (принцип Вольтерра) и модель конкурирующих видов. Модель пищевой цепи.
-
Бифуркация Андронова-Хопфа рождения цикла. Возникновение предельного цикла в модели “хищник – жертва” Г. Гаузе.
-
Вывод уравнения Фишера – Колмогорова. Его волновые решения.
-
Теорема Брауэра и неравенство Фань Цзы.
-
Конкурентное равновесие в модели Эрроу-Дебре. Теорема Эрроу-Дебре о существовании конкурентного равновесия. Первая теорема теории благосостояния.
-
Теория мажоризации.
-
Оптимальный моменты остановки для задачи с конечным горизонтом, уравнения Беллмана и критерий оптимальности. Применение к ценообразованию и хеджированию опционов американского типа для модели полного рынка.
-
Гарантированный подход к ценообразованию и хеджированию опционов, уравнения Беллмана-Айзекса. Игровое равновесие, интерпретация риск-нейтральной вероятности.
-
Стабилизация линейных стационарных систем. Стабилизация по состоянию и по результатам измерений.
-
Задача оптимальной стабилизации в общем, нелинейном случае. Уравнение для функции Ляпунова (функции цены), его решение в случае линейно-квадратичной задачи.
-
Уравнение атмосферной диффузии в одномерном случае. Вывод сопряженного уравнения и примеры его применения.
-
Наблюдаемость систем с распределенными параметрами. Наблюдаемость системы с движущимся точечным сенсором на прямой.
-
Постановка задачи регуляризации. Метод квазиобращения Лионса-Латтеса.
-
Последовательная и параллельная сложность алгоритмов, информационный граф и ресурс параллелизма алгоритмов.
-
Методы организация параллельных вычислений при суперкомпьютерном решении сеточных задач.
-
Суперкомпьютерное моделирование турбулентных течений.
-
Использование суперкомпьютеров для решения задач молекулярного моделирования.
Список рекомендованной литературы
-
Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.
-
Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and Control of Trajectory Tubes. Theory and Computation. Birkhäuser, 2014.
-
Kurzhanski A.B., Daryin A. Dynamic Programming for Impulse Feedback and Fast Controls. Springer. 2020.
-
Куржанский А.Б., Мельников Н.Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина и уравнение Гамильтона-Якоби // Математический сборник, т. 191, № 6, 2000, стр. 69-100.
-
Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.
-
Ли Э., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., Наука, 1972.
-
Благодатских В.И. Линейная теория оптимального управления. М.: Издательство Московского университета. 1978.
-
Арутюнов А.В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу. М.: Физматлит, 2014.
-
Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. М.: Физматлит, 2010.
-
Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.
-
Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.
-
Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.
-
Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. тт. 1-2. М.: Фазис, 2004.
-
Фёльмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время. - М.: Изд-во МЦНМО, 2008.
-
Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.
-
Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.
-
Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Едиториал УРСС, 2010.
-
Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1986.
-
Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М., Мир, 1970.