Теория устойчивости
Преподаватель:
Семестр:
8
Нагрузка:
2 часа лекций и 2 часа семинарских занятий в неделю
Форма отчетности:
экзамен
Аннотация:
В курсе излагаются основы теории устойчивости динамических систем: классические методы теории устойчивости (первый и второй метод Ляпунова, теория Флоке и др.), теория устойчивости потенциальных систем, устойчивость взаимосвязанных систем и систем с запаздыванием. Рассматриваются также задачи исследования устойчивости разностных схем и дифференциальных включений, вопросы использования негладких функций Ляпунова. Рассматриваемые методы теории устойчивости иллюстрируются примерами из механики, экономики и других прикладных областей.
Программа курса:
- Устойчивость по Ляпунову, постановка общей задачи. Первые представления об устойчивости. Устойчивость по Пуассону и по Лагранжу. Определение Ляпунова. Примеры.
- Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных стационарных систем. Алгебраические и графические критерии устойчивости. Квадратичные функции Ляпунова. Матричное уравнение Ляпунова.
- Устойчивость линейных периодических систем. Преобразование Ляпунова. Приводимые системы. Теория Флоке. Первый метод Ляпунова. Характеристичные числа и характеристические показатели. Индексы роста и показатели Ляпунова. Условия устойчивости линейных нестационарных систем.
- Устойчивость нелинейных стационарных систем. Второй метод Ляпунова. Знакопостоянные и знакоопределённые функции. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теоремы о неустойчивости Ляпунова и Четаева. Оценивание области притяжения. Устойчивость в целом. Теорема Барбашина-Красовского. Устойчивость потенциальных систем. Теорема Лагранжа. Некоторые примеры из теории колебаний.
- Устойчивость нелинейных нестационарных систем. Определения и условия равномерной устойчивости. Асимптотическая устойчивость равномерная по начальным возмущениям. Экспоненциальная устойчивость. Теоремы обращения. Условия существования функций Ляпунова. Неравномерная асимптотическая устойчивость. Устойчивость систем с запаздыванием. Функционалы Красовского.
- Принцип сравнения. Устойчивость по первому приближению. Векторные функции Ляпунова. Дифференциальные неравенства. Простейшие конструкции векторных функций Ляпунова. Нелинейные системы сравнения и дифференциальные уравнения Бернулли. Векторные оценки возмущенных движений.
- Устойчивость решений дифференциальных включений.
- Негладкие функции Ляпунова. Применение аппарата негладкого анализа.
- Устойчивость разностных систем. Сходимость и устойчивость дискретных процессов. Дискретные аналоги классических теорем. Устойчивость по заданным переменным. Сходимость в большом и в целом. Признаки равномерной устойчивости и сходимости. Построение сходящихся процессов. Основные понятия теории стохастической устойчивости.
- Проблема стабилизации движения. Задача оптимальной стабилизации для линейной системы с квадратичным функционалом.
Рекомендованная литература:
- Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.
- Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.
- Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
- Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
- Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.
- Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.
Дополнительные материалы: